Question

在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，則B₁C₁的長為    ； 若B₂C₂所在四邊形是△AB₁C₁的內接正方形，B₃C₃所在四邊形是△AB₂C₂的內接正方形，依此類推，則B_nC_n的長為    ．

Answer 1

【答案】分析：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，由B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，易證得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，可求得高AD的長，然后由相似三角形對應高的比等于相似比，求得B₁C₁的長，同理可求得B₂C₂與B₃C₃的長，觀察即可得規律：B_nC_n=6×（）ⁿ．
解答：解：過點A作AD⊥BC于點D，交B₁C₁于點E，交B₂C₂于點F，
∵B₁C₁所在四邊形是△ABC的內接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
設B₁C₁=x，則AE=4-x，
∴，
即：，
解得：x=，
即B₁C₁=；
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴，
∵AE=4-=，
∴設B₂C₂=y，則AF=-y，
∴，
解得：y=，
即B₂C₂==6×（）²；
同理：B₃C₃=6×（）³；
∴B_nC_n=6×（）ⁿ．
故答案為：，6×（）ⁿ．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與正方形的性質．此題難度較大，屬于規律性題目，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．