Question

（2006•徐州）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD中，邊AB=2，邊AD=1，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合．將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設點A′是點A落在邊DC上的對應點．
（1）當矩形ABCD沿直線y=-x+b折疊時（如圖1），求點A'的坐標和b的值；

（2）當矩形ABCD沿直線y=kx+b折疊時，
①求點A′的坐標（用k表示）；求出k和b之間的關系式；
②如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖2、3、4所示的三種情形，請你分別寫出每種情形時k的取值范圍．（將答案直接填在每種情形下的橫線上）k的取值范圍是______；k的取值范圍是______；k的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線y=-x+b與CD交于點E，與OB交于點F，連接A′O，則OE=b，OF=2b，設點A′的坐標為（a，1），根據△DOA′∽△OFE，所得，即，所以a=．可得點A′的坐標為（，1），連接A′E，則A′E=OE=b，根據勾股定理有A′E²=A′D²+DE²，即b²=（）²+（1-b）²，解得b=；
（2）設直線y=kx+b與OD交于點E，與OB交于點F，連接A′O，則OE=b，，設點A′的坐標為（a，1）可證△DOA′∽△OFE，所以，即，所以a=-k，A′點的坐標為（-k，1），連接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b，根據A′E²=A′D²+DE²，得b²=（-k）²+（1-b）²，所以b=．
（3）根據圖象和矩形的邊長可直接得出k的取值范圍，在題中圖2中：-2≤k≤-1；圖3中：-1≤k≤；圖4中：-2+≤k≤0．
解答：解：（1）如圖1，設直線y=-x+b與CD交于點E，與OB交于點F，與y軸交于G點，連接A'O，則OE=b，OF=2b，設點A′的坐標為（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴，即，
∴a=，
∴點A′的坐標為（，1），
連接A′E，則A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根據勾股定理有A′E²=A′D²+DE²，
即b²=（）²+（1-b）²，
解得b=；

（2）如圖1，設直線y=kx+b與OD交于點E，與OB交于點F，連接A'O，則：
OE=b，，
設點A′的坐標為（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴，即，
∴a=-k．
∴A′點的坐標為（-k，1）．（7分）
連接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E²=A′D²+DE²，
∴b²=（-k）²+（1-b）²，
∴b=；

（3）在題中圖2中：-2≤k≤-1；
圖3中：-1≤k≤；
圖4中：-2+≤k≤0．
點評：這是一道有關折疊的問題，主要考查一次函數、四邊形、相似形等知識，試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．