Question

如圖：BD是矩形ABCD的對角線，E是AB延長線上的一點，且AE=BD，過A作AH⊥CE于H，交BC于G．
（1）求證：H為CE的中點；
（2）若HG•HA=10，AD：AB=3：4，求AD與AB的長．

Answer 1

（1）證明：如右圖所示，連接AC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
又∵AE=BD，
∴AC=AE，
∵AH⊥BC，
∴H是CE的中點；

（2）解：如右圖所示，連接AC，
設AD=3x，AB=4x，
∵∠E+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAH=90°，∠E=∠ACE，
∴∠GCH=∠CAH，
又∵∠AHC=∠CHG=90°，
∴△AHC∽△CHG，
∴=，
∴CH²=10，
∴EC=2，
∵AC=AE，
∴BE=4x-3x=x，
在Rt△CBE中，有（3x）²+x²=（2）²，
解得x=2，
∴AB=8，AD=6．
分析：（1）先連接AC，由于四邊形ABCD是矩形，于是AC=BD，而AE=BD，那么AC=AE，而AH⊥BC，利用等腰三角形三線合一定理可證H是BC的中點；
（2）先設AB=4x，AD=3x，由于∠E+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAH=90°，∠E=∠ACE，易求∠GCH=∠CAH，而∠AHC=∠CHG=90°，從而可證△AHC∽△CHG，利用比例線段可求CH，進而可求BC，易知BE=x，在Rt△CBE中，有（3x）²+x²=（2）²，可求x，從而易求AB、AD．
點評：本題考查了矩形的性質、等腰三角形三線合一定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是連接AC，并證明△AHC∽△CHG．