Question

如圖，不等邊△ABC內接于⊙O，I是其內心，且AI⊥OI．若AC=9，BC=7，則AB=

 

．

Answer 1

分析：延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，作IG⊥AB于G，根據三角形內心和圓周角定理求出BD=ID=DC，根據垂徑定理求出BE=CE，BG=AG，證Rt△BDE≌Rt△AIG，推出AG=BE，推出AB+AC=2BC，代入即可求出答案．

解答：解：連接OA、OD、BD和BI，

∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I為△ABC內心，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI，
=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
∵

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，記垂足為E，則有BE=

1

2

BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，

于是，AG=BE=

1

2

BC，但AG=

1

2

（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴AB=2×7-9=5，
故答案為：5．

點評：本題主要考查對垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，等腰三角形的性質和判定，三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．