Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個實數根．

（1）求C點坐標；

（2）求直線MN的解析式；

（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

考點：

一次函數綜合題

分析：

（1）通過解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；

（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；

（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據等腰三角形的性質、兩點間的距離公式以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答．

解答：

解：（1）解方程x²﹣14x+48=0得

x₁=6，x₂=8．

∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個實數根，

∴OC=6，OA=8．

∴C（0，6）；

（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．

由（1）知，OA=8，則A（8，0）．

∵點A、C都在直線MN上，

∴，

解得，，

∴直線MN的解析式為y=﹣x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），

∴根據題意知B（8，6）．

∵點P在直線MNy=﹣x+6上，

∴設P（a，﹣a+6）

當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：

①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P₁（4，3）；

②當PC=BC時，a²+（﹣a+6﹣6）²=64，

解得，a=，則P₂（﹣，），P₃（，）；

③當PB=BC時，（a﹣8）²+（﹣a+6﹣6）²=64，

解得，a=，則﹣a+6=﹣，∴P₄（，﹣）．

綜上所述，符合條件的點P有：P₁（4，3），P₂（﹣，）P₃（，），P₄（，﹣）．

點評：

本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質．解答（3）題時，要分類討論，防止漏解．另外，解答（3）題時，還利用了“數形結合”的數學思想．