Question

（2008•肇慶）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：AE=CE；
（2）EF與⊙O相切于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直徑；
（3）若（n＞0），求sin∠CAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DE，根據(jù)∠ABC=90°可知：AE為⊙O的直徑，可得∠ADE=90°，根據(jù)CD⊥AC，AD=CD，可證AE=CE；
（2）根據(jù)△ADE∽△AEF，可將AE即⊙O的直徑求出；
（3）根據(jù)Rt△ADE∽R(shí)t△EDF，=n，可將DE的長(zhǎng)表示出來，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理可將CE的長(zhǎng)表示出來，從而可將sin∠CAB的值求出．
解答：（1）證明：連接DE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直徑
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中點(diǎn)
∴DE是AC的垂直平分線
∴AE=CE；

（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE=2cm；

（3）解：∵AE是⊙O直徑，EF是⊙O的切線，
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽R(shí)t△EDF
∴
∵，AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=（1+n）CD
∴DE=CD
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=CD²+（CD）²=（n+2）CD²
∴CE=CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC===．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理，切線的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用．