Question

已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB²=AE·AC，BD=8，

【小題1】判斷△ABD的形狀并說明理由；
【小題2】求△ABD的面積

Answer 1

【小題1】△ABD是等腰三角形
如圖，連接OA、OB，交DB于F；
∵AB²=AE•AC，即；
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
∴∠DBA=∠BCA；
而∠BCA=∠BDA，∴∠DBA=∠BDA；
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形。（4分）
【小題2】∵AB=AD，
∴OA⊥BD，且F為BD的中點；
∴BF=4；
在Rt△BOF中，OB²=BF²+OF²，∴OF=3；
而OA=5，∴AF=2；
∴S_△ABD=BD×AF=8．（10分）
解析:
求△ABD的面積，已知了底邊BD的長，因此只需求出BD邊上的高即可．連接OA、OB，交DB于F；已知AB²=AE•AC，易證得△ABE∽△ACB；可得∠BCA=∠DBA，即弧AD=弧AB，根據垂徑定理，可知OA垂直平分BD；易求得OF=3，則AF=2，由此可求得△ABD的面積．