Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（0，3），C（-1，0），將矩形OABC繞原點順時針旋轉90°，得到矩形OA′B′C′．設直線BB′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線y=ax²+2x+c的圖象經過點C、M、N．解答下列問題：
（1）分別求出直線BB′和拋物線所表示的函數解析式；
（2）將△MON沿直線MN翻折，點O落在點P處，請你判斷點P是否在拋物線上，說明理由；
（3）將拋物線進行平移（沿上下或左右方向），使它經過點C′，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）由題意得，B（-1，3），B'（3，1），
∴直線BB′的解析式為，
直線BB′與x軸的交點為M（5，0），與y軸的交點N（0，），
設拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
∵拋物線過點N，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為=；

（2）設P點坐標為（x，y），連接OP，PM，OP交NM于E，
∵O、P關于直線MN對稱，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，），M（5，0），
∴MN===，OE===，
∴OP=2OE=2，
∴OP==2①，
PM==5②，
①②聯立，解得，
把x=2代入二次函數的解析式y=-x²+2x+得，y=，
∴點P不在此二次函數的圖象上；

（3）若拋物線上下平移經過點C'，此時解析式為，
當y=1時，，
∴，=，
若拋物線向左平移經過點C'，平移距離為，
此時解析式為=，
若拋物線向右平移經過點C'，
此時解析式為．
分析：（1）由題意可知B，B′的坐標，可用待定系數法求得一次函數的解析式．由一次函數解析式可得到M，N兩點的坐標，代入二次函數即可求得二次函數的解析式；
（2）設P點坐標為（x，y），連接OP，PM，由對稱的性質可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的長，由三角形的面積公式得出OE的長，利用兩點間的距離公式求出x、y的值，把x的值代入二次函數關系式看是否適合即可；
（3）可上下平移，橫坐標等于C′的橫坐標，左右平移，縱坐標等于C′的縱坐標．
點評：一般用待定系數法來求函數解析式；抓住坐標系里點的平移的特點：圖象左右平移，只改變橫坐標；圖象上下平移，只改變縱坐標．