Question

如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A、B．已知拋物線y=x²+bx+c過點A和B，與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象；
（2）點Q（8，m）在拋物線y=x²+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是過點C的⊙M的切線，點E是切點，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知點A，B的坐標分別為（2，0），（6，0），代入函數解析式即可求得拋物線的解析式，即可得點C的坐標；
（2）根據圖象可得PQ+PB的最小值即是AQ的長，所以拋物線對稱軸l是x=4．所以Q（8，m）拋物線上，∴m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此題首先要證得OE∥CM，利用待定系數法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
解答：解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=x²+bx+c過點A和B，
則
解得
則拋物線的解析式為
y=x²-x+2．
故C（0，2）．（2分）
（說明：拋物線的大致圖象要過點A、B、C，其開口方向、頂點和對稱軸相對準確）（3分）

（2）如圖①，拋物線對稱軸l是x=4．
∵Q（8，m）在拋物線上，
∴m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=．（5分）
又∵B（6，0）與A（2，0）關于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=．

（3）如圖②，連接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．（7分）
設CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點C（0，2），M（4，0），
∴
解得
直線CM的解析式為．
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，
∴OE的解析式為y=x．（8分）
點評：此題考查了二次函數與一次函數以及圓的綜合知識，要注意待定系數法求解析式，要注意數形結合思想的應用．