Question

如圖，小華家的住宅樓AB與北京奧運會主體育場鳥巢隔水相望且能看到鳥巢的最高處CD，兩建筑物的底部在同一水平面上，視野開闊，但不能直接到達，小華為了測量鳥巢的最大高度CD，只能利用所在住宅樓的地理位置．現在小華僅有的測量工具是皮尺和測角儀（皮尺可測量長度，測角儀可測量仰角、俯角），請你幫助小華設計一個測量鳥巢的最大高度的方案．
（1）要求寫出測量步驟和必需的測量數據（用字母表示）并畫出測量圖形（測角儀高度忽略不計）；
（2）利用小華測量的數據（用字母表示），寫出計算鳥巢最大高度CD的表達式．

Answer 1

解：（1）如圖，連接AD、AC，過點A作AE⊥CD，垂足為E．測量步驟為：
①測量樓頂到地面的高度AB=a（米）；
②在樓頂處測點D的俯角∠EAD=α；
③在樓頂處測點C的仰角∠EAC=β．

（2）在Rt△AED中，DE=AB=a，
∵∠ADE=90°-α∴AE=DEtan（90°-α）=atan（90°-α），
在Rt△AEC中，CE=AEtanβ=atan（90°-α）tanβ，
∴CD=DE+CE=a+atanβtan（90°-α）=a[1+tanβtan（90°-α）]．
分析：（1）本題方法不惟一，只要設計合理，解答正確均可．
（2）先由AB及α的正切值求得AE的長，再由AE及β的正切值求得CE的長，則DC的長即可求出．
點評：本題考查俯仰角的定義，要求學生能借助俯仰角構造直角三角形并解直角三角形．