Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側作正方形CDEF．連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，設OD=t．
（1）求tan∠FOB的值；
（2）用含t的代數式表示△OAB的面積S；
（3）是否存在點B，使以B，E，F為頂點的三角形與△OFE相似？若存在，請求出所有滿足要求的B點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點A的坐標，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．
（2）證明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB關于t的等量關系式，繼而求出S△OAB的值．
（3）依題意要使△BEF∽△OFE，則要或，即分BE=2t或兩種情況解答．當BE=2t時，BO=4t，根據上述的線段比求出t值；當EB=t時也要細分兩種情況：當B在E的右側以及當B在E的左側時OB的取值，利用線段比求出t值．
解答：解：（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴．（3分）

（2）∵CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴．
∴，
∴．（4分）

（3）要使△BEF與△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要或．
即：BE=2t或，
①當BE=2t時，BO=4t，
∴，
∴t₁=0（舍去）或t₂=，
∴B（6，0）．（2分）
②當時，
（ⅰ）當B在E的左側時，

，
∴，
∴t₁=0（舍去）或t₂=．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）當B在E的右側時，，
∴，
∴t₁=0（舍去）或t₂=，
∴B（3，0）．（2分）
綜上，B（1，0）（3，0）（6，0）．
點評：本題考查的是正方形的性質，坐標與圖形的性質以及相似三角形的判定等有關知識．