Question

在平面直角坐標系中，直線y=-x+6與x軸、y軸分別交于B、C兩點．
（1）直接寫出B、C兩點的坐標；
（2）直線y=x與直線y=-x+6交于點A，動點P從點O沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，設運動時間為t秒（即OP=t）．過點P作PQ∥x軸交直線BC于點Q．
①若點P在線段OA上運動時（如圖1），過P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為N、M，設矩形PQMN的面積為S，寫出S和t之間的函數關系式，并求出S的最大值．
②若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，當運動時間t為何值時，過P、Q、O三點的圓與x軸相切？

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=6；令y=0，則x=12，
∴B（12，0），C（0，6）．

（2）①點P在y=x上，OP=t，點P坐標（t，t），點Q坐標（12-t，t）．
PQ=12-t-t=12-t，PN=t．
S=PQ•PN=-1.5t²+6t=-1.5（t²-4t+8）+12=-1.5（t-）²+12．
當時，S的最大值為12．
②若點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動，過P、Q、O三點的圓與x軸相切，
則圓心在y軸上，且y軸垂直平分PQ．
∴∠POC=45°，
∴∠QOC=45°．
∴，
∴．
分析：（1）令x=0以及y=0代入題中相應的函數關系式可求出B，C的坐標．
（2）已知點P在y=x上，OP=t，可求出點P，Q的坐標以及PQ的長．然后根據矩形公式求出S關于t的函數關系式化簡求出S的最大值．
根據題意，點P經過A點后繼續按原方向，原速度運動，則圓心在y軸上且y軸垂直平分PQ．得出∠POC=∠QOC=45°．
點評：本題考查的是一次函數的圖象與應用，矩形的面積公式以及圓的有關知識，難度中上．