Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-

3

4

x+3分別與x軸、y軸交于點A和點B，二次函數y=ax²-4ax+c的圖象經過點B和點C（-1，0），頂點為P．
（1）求這個二次函數的解析式，并求出P點坐標；
（2）若點D在二次函數圖象的對稱軸上，且AD∥BP，求PD的長；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為直徑的圓與圓O相切，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據已知直線的解析式，可求得A、B的坐標，然后將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式；利用配方法將所得拋物線解析式化為頂點坐標式，進而可求得頂點P的坐標；
（2）由（1）的P點坐標知：拋物線的對稱軸為x=2，因此拋物線對稱軸經過AB的中點，設此交點為E，若BP∥AD，那么PE=DE，根據拋物線的對稱軸方程易求得E點坐標，從而可得到PE的長，根據PD=2PE即可得解；
（3）由（2）知E是PD的中點，OE的長易求得，比較ED、OE的大小后發現，DE＞OE，若⊙E、⊙O相切，那么只有內切一種情況，故兩圓的半徑差等于圓心距，由此求得⊙O的半徑．

解答：解：（1）因為直線y=-

3

4

x+3分別與x軸、y軸交于點A和點B；
由x=0，得y=3，y=0，得x=4，
所以A（4，0），B（0，3）；
把C（-1，0），B（0，3）代入y=ax²-4ax+c中，
得

c=3 a+4a+c=0

，
解得

c=3 a=- 3 5

；
∴這個二次函數的解析式為y=-

3

5

x2+

12

5

x+3；
y=-

3

5

(x-2)2+

27

5

，P點坐標為P(2，

27

5

)；

（2）設二次函數圖象的對稱軸與直線y=-

3

4

x+3交于E點，與x軸交于F點；
把x=2代入y=-

3

4

x+3
得，y=

3

2

，
∴E(2，

3

2

)，
∴PE=

27

5

-

3

2

=

39

10

；
∵PE∥OB，OF=AF，
∴BE=AE，
∵AD∥BP，
∴PE=DE，PD=2PE=

39

5

；

（3）∵E(2，

3

2

)，
∴OE=

4+ 9 4

=

5

2

，
∴ED＞OE；
設圓O的半徑為r，以PD為直徑的圓與圓O相切時，只有內切，
∴|

39

10

-r|=

5

2

，
解得：r1=

32

5

，r2=

7

5

，
即圓O的半徑為

32

5

或

7

5

．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、圓與圓的位置關系等知識，難度適中．