Question

如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個等腰直角三角形ABA₁，再以等腰直角三角形ABA₁的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A₁BB₁，…，如此作下去，若OA=OB=1，則第2012個等腰直角三角形的面積S₂₀₁₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出下一個三角形的直角邊，然后分別求出各個三角形的面積，不難發現，后一個三角形的面積是前一個三角形面積的2倍，然后找出規律寫出第n個三角形的面積的表達式，再求解第2012個三角形的面積即可．
解答：解：根據等腰直角三角形的性質，AB=OA=，A₁B=AB=×=2，A₁B₁=A₁B=2，
所以，第1個等腰直角△AOB的面積S₁=×1×1=，
第2個等腰直角△ABA₁的面積S₂=××=1，
第3個等腰直角△A₁BB₁的面積S₃=×2×2=2，
第4個等腰直角△A₁B₁B₂的面積S₃=×2×2=4，
…，
依此類推，第n個等腰直角三角形的面積S_n=2^n-2，
第2012個等腰直角三角形的面積S₂₀₁₂=2²⁰¹⁰．
故答案為：2²⁰¹⁰．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，數字變化規律的考查，根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍，表示出后一個三角形的直角邊與前一個三角形的直角邊的關系，然后得到相鄰兩個三角形的面積的關系是解題的關鍵．