Question

已知一次函數y₁=2x，二次函數y₂=x²+1．
（Ⅰ）根據表中給出的x的值，計算對應的函數值y₁、y₂，并填在表格中：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x
y2=x2+1

（Ⅱ）觀察第（Ⅰ）問表中有關的數據，證明如下結論：在實數范圍內，對于x的同一個值，這兩個函數所對應的函數值y₁≤y₂均成立；
（Ⅲ）試問，是否存在二次函數y₃=ax²+bx+c，其圖象經過點（-5，2），且在實數范圍內，對于x的同一個值，這三個函數所對應的函數值y₁≤y₃≤y₂均成立？若存在，求出函數y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x	-6	-4	-2	0	2	4	6
y2=x2+1	10	5	2	1	2	5	10

（Ⅱ）在實數范圍內，對于x的同一個值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵=（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（Ⅲ）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即當x=1時，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）點為y₁和y₂的交點．
因為要滿足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃圖象必過（1，2）點．
又因為y₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函數ax²+（b-2）x+c必定開口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同樣有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因為函數過（-5，2）和（1，2）兩點，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
將b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立時 a=，
將b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
滿足條件a=
所以y₃的解析式為y₃=（x²+4a+1）=+x+．
分析：（Ⅰ）根據表中所給的x的值，代入函數式求值即可；
（Ⅱ）把y₂化成完全平方的形式與y₁進行比較即可得出結論；
（Ⅲ）由圖可知，在實數范圍內，對于x的同一個值，三個函數所對應的函數值y₁≤y₃≤y₂均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）²-4ac≤0得出a的值，于是可推理出拋物線的解析式．
點評：此題結合圖表考查了同學的對函數圖象上點的坐標特征的理解，以及通過數形結合考查了同學們的探索發現能力．
解答此題需要熟知函數圖象的交點個數與判別式的關系，通過將函數問題轉化為方程問題來解答．