Question

已知y=m²+m+4，若m為整數，在使得y為完全平方數的所有m的值中，設m的最大值為a，最小值為b，次小值為c．（注：一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數．）
（1）求a、b、c的值；
（2）對a、b、c進行如下操作：任取兩個求其和再除以

2

，同時求其差再除以

2

，剩下的另一個數不變，這樣就仍得到三個數．再對所得三個數進行如上操作，問能否經過若干次上述操作，所得三個數的平方和等于2008證明你的結論．

Answer 1

分析：設m²+m+4=k²（k為非負整數），則有m²+m+4-k²=0，由m為整數知其△為完全平方數，即1-4（4-k²）=p²（p為非負整數），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，再分別求出a、b、c的值即可．

解答：解：（1）設m²+m+4=k²（k為非負整數），則有m²+m+4-k²=0，
由m為整數知其△為完全平方數，即1-4（4-k²）=p²（p為非負整數），（2k+p）（2k-p）=15，顯然2k+p＞2k-p，
所以

2k+p=15 2k-p=1

或

2k+p=5 2k-p=3

，解得p=7或p=1，
所以m=

-1+p

2

，得m₁=3，m₂=-4，m₃=0，m₄=-1，
所以a=3，b=-4，c=-1．
（2）三個數，任意兩個求其和，再除以

2

，同求其差，再除以

2

，剩下的一個數不變，經過兩次這樣的操作就又變成原來的三個數了，即（

m+n

2

）²+（

m-n

2

）²+p²=m²+n²+p²，而3²+（-4）²+（-1）²≠2008．所以，對a、b、c進行若干次操作后，不能使所得三個數的平方和等于2008．

點評：本題考查了對完全平方數的理解，拓展應用是解此題的關鍵，要打破思維常規(guī)進行分析．