Question

如圖，已知正方形ABCD．
（1）請用直尺和圓規，作出正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分別是點B，C，D的像）（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）；
（2）設CD與B′C′相交于O點，求證：OD=OB′；
（3）若正方形的邊長為，求兩個正方形的重疊部分（四邊形AB′OD）的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別將B，C，D繞點A逆時針旋轉45°即可得出答案即可；
（2）利用正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋轉得到，得出AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，進而求出∠ODB′=∠OB′D得出答案即可；
（3）首先得出△OB′C是等腰直角三角形，再利用CD=OC+OD得出S_{四邊形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO求出即可．
解答：解：（1）如圖所示：

（2）連接B′D．
∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋轉得到，
∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，
∴∠ADB′=∠AB′D，
∴∠ODB′=∠OB′D，
∴OD=OB′． 

（3）連接AC．
∵正方形ABCD，
∴∠CAB=45°．
由題意知∠BAB′=45°，
∴∠CAB=∠BAB′，即B′在AC上，
∴△OB′C是等腰直角三角形．
設OD=OB′=x，則OC=．
∵CD=，
∴，
解得：x=1．
故S_{四邊形AB′OD}=S_△ACD-S_△B′CO=．
點評：此題主要考查了正方形的性質以及等腰直角三角形的性質，利用正方形性質得出是解題關鍵．