Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上．
（1）如圖1示，猜想AB與BC的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2所示，若F為線段CD上一點，∠FBC=30°，連接AF，請判斷△BAF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）猜想AB=BC，根據平行線的性質、等邊三角形的性質以及直角三角形的兩個銳角互余可求出∠AED=45°，連接AC，根據等腰直角三角形的判定方法進行證明即可；
（2）若F為線段CD上一點，∠FBC=30°，則△BAF的形狀是等邊三角形，作FG⊥BC于G，由∠DCB=75°，∠CBF=30°，推出∠DCB=∠BFC，得到BC=BF，由（1）可知AB=BC，所以AB=BF，由已知條件可求出∠AFB=60°，所以有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．
解答：解：（1）猜想AB=BC，理由如下：
∵∠BCD=75°，AD∥BC，
∴∠ADC=105°．
又∵等邊△DCE中，∠CDE=60°，
∴∠ADE=45°．
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB=90°，
∴∠AED=45°，
∵直角△AED中，∠AED=45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，故點A在線段DE的垂直平分線上．
∵△DCE是等邊三角形得CD=CE，
∴點C也在線段DE的垂直平分線上．
∴AC就是線段DE的垂直平分線，即AC⊥DE．
連接AC，
∵∠AED=45°，
∴∠BAC=45°，
又AB⊥BC，
∴BA=BC；
（2）△BAF的形狀是等邊三角形，
理由如下：
作FG⊥BC于G，
∵∠DCB=75°，∠CBF=30°，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠BFC，
∴BC=BF，
∵AB=BC，
∴AB=BF，
∵∠CBF=30°，
∴∠ABF=90°-30°=60°，
∴△BAF的形狀是等邊三角形．
點評：本題主要考查對直角梯形，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．