Question

如圖，已知⊙O上A、B、C三點，∠BAC=30°，D是OB延長線上的點，∠BDC=30°，⊙O半徑為．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）如果AC∥BD，證明四邊形ACDB是平行四邊形，并求其周長；
（3）在圖1中，如果AO⊥BO，BO與AC交于E，如圖2，求S_△ABC：S_△AEB的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，如圖1，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
又∵∠BDC=30°
∴∠DCO=90°，
∴CD是⊙的切線；

（2）證明：
∵AC∥BD，
∴∠ABO=∠BAC=30°，
而∠BDC=30°，
∴∠ABO=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形；
在Rt△CDO中，
∵∠BDC=30°，OC=
∴OD=2OC=2，CD=OC=，
∴DB=OD-OB=，
∴平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）=2（+）；

（3）解：∵AO⊥BO，OA=OB，
∴∠ACB=∠AOB=45°，∠ABO=45°，
∴AB=OA=2，
又∵∠CAB=∠BAE，∠ACB=∠ABO，
∴△ABC∽△AEB，
∴S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，
過點B作BF⊥AC，垂足為F，如圖2，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=×2=1，AF=BF=，
∵△BCF為等腰直角三角形，
∴CF=BF=1，
∴AC=AF+CF=+1，
∴S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，=（+1）²：2²=．
分析：（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，而∠BDC=30°，則∠DCO=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由AC∥BD得∠ABO=∠BAC=30°，而∠BDC=30°，則∠ABO=∠BDC，可得到AB∥CD，根據平行四邊形的判定即可得到四邊形ACDB是平行四邊形；在Rt△CDO中，∠BDC=30°，OC=，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到OD=2OC=2，CD=OC=，則DB=OD-OB=，利用平行四邊形ABDC的周長=2（DB+DC）計算即可；
（3）由AO⊥BO，OA=OB得到∠ACB=∠AOB=45°，∠ABO=45°，根據等腰直角三角形的性質得到AB=OA=2，而∠CAB=∠BAE，∠ACB=∠ABO，根據相似三角形的判定得到
△ABC∽△AEB，利用其性質得到S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²；過點B作BF⊥AC，垂足為F，在Rt△ABF中，∠BAF=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到BF=AB=×2=1，AF=BF=，
，并且CF=BF=1，則AC=AF+CF=+1，計算S_△ABC：S_△AEB=AC²：AB²，=（+1）²：2²即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了圓周角定理、含30°的直角三角形三邊的關系、等腰直角三角形的性質、切線的判定定理以及平行四邊形的判定定理．