Question

在?ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC．
（1）如圖1，若∠ADC=90°，G是EF的中點，連接AG、CG．
①求證：BE=BF．
②請判斷△AGC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若∠ADC=60°，將線段FB繞點F順時針旋轉60°至FG，連接AG、CG．那么△AGC又是怎樣的形狀．（直接寫出結論不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）①先判定四邊形ABCD是矩形，再根據矩形的性質可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根據平行線的性質求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根據DF是∠ADC的平分線，利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC，從而得到∠F=∠BEF，然后根據等角對等邊的性質即可證明；
②連接BG，根據等腰直角三角形的性質可得∠F=∠BEF=45°，再根據等腰三角形三線合一的性質求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根據等腰直角三角形的定義判斷即可；
（2）連接BG，根據旋轉的性質可得△BFG是等邊三角形，再根據角平分線的定義以及平行線的性質求出AF=AD，平行四邊形的對角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，從而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG，全等三角形對應角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根據等邊三角形的判定方法判定即可．
解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分線，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：連接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中點，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；

（2）連接BG，∵FB繞點F順時針旋轉60°至FG，
∴△BFG是等邊三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分線，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°，
∴∠AGC=180°-（∠GAC+∠ACG）=180°-120°=60°，
∴△AGC是等邊三角形．
點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，難度較大，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．