Question

（2005•成都）已知：如圖△ABC是等邊三角形，過AB邊上的點D作DG∥BC，交AC于點G，在GD的延長線上取點E，使DE=DB，連接AE、CD．
（1）求證：△AGE≌△DAC；
（2）過點E作EF∥DC，交BC于點F，請你連接AF，并判斷△AEF是怎樣的三角形，試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知等邊三角形的性質可推出△ADG是等邊三角形，從而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）連接AF，由已知可得四邊形EFCD是平行四邊形，從而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，從而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF為等邊三角形．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC，
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等邊三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB，
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA，
∴∠AGE=∠DAC=60°，
在△AGE和△DAC中，

∴△AGE≌△DAC（SAS）．

（2）解：△AEF為等邊三角形．
證明：如圖，連接AF，
∵DG∥BC，EF∥DC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，
由（1）知△AGE≌△DAC，
∴AE=CD，∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，
∴△AEF為等邊三角形．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定，等邊三角形的性質及判定的理解及運用．