Question

（2003•北京）已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0）
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式可知：拋物線的對稱軸為x=-2，由此可求出B點的坐標．
（2）可將A點坐標代入拋物線的解析式中，求出a與t的關系式，然后將拋物線中的t用a替換掉，根據這個拋物線的解析式可表示出C點的坐標，然后根據梯形的面積求出a的值，即可得出拋物線的解析式．
（3）可根據E點橫坐標與縱坐標的比例關系以及所處的象限設出E點的坐標，然后將它代入拋物線的解析式中即可求出E點的坐標．要使PA+EP最小，根據軸對稱圖象的性質和兩點間線段最短可知：如果去A關于拋物線對稱軸的對稱點B，連接BE，那么BE與拋物線對稱軸的交點就是P點的位置，可先求出直線BE的解析式然后聯立拋物線的對稱軸方程即可求出P的坐標．
解答：解：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x=-2，
∵拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），
∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（-3，0）．

（2）∵拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0）
∴a（-1）²+4a（-1）+t=0
∴t=3a
∴y=ax²+4ax+3a
∴D（0，3a）
∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線y=ax²+4ax+3a上，
∵C（-4，3a）
∴AB=2，CD=4
∵梯形ABCD的面積為9
∴（AB+CD）•OD=9
∴（2+4）•|3a|=9
∴a=±1
∴所求拋物線的解析式為y=x²+4x+3或y=-x²-4x-3．

（3）設點E坐標為（x，y），
依題意，x＜0，y＞0，且
∴y=-x
①設點E在拋物線y=x²+4x+3上，
∴y=x²+4x+3
解方程組
得，
∵點E與點A在對稱軸x=-2的同側
∴點E坐標為（，）．
設在拋物線的對稱軸x=-2上存在一點P，使△APE的周長最小．
∵AE長為定值，
∴要使△APE的周長最小，只須PA+PE最小
∴點A關于對稱軸x=-2的對稱點是B（-3，0）
∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x=-2的交點
設過點E、B的直線的解析式為y=mx+n
∴，
解得
∴直線BE的解析式為y=x+
∴把x=-2代入上式，得y=
∴點P坐標為（-2，）
②設點E在拋物線y=-x²-4x-3上
∴y=-x²-4x-3，
解方程組
消去y，得
∴△＜0
∴此方程組無實數根．
綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（-2，），使△APE的周長最小．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、圖象面積的求法等知識點．綜合性強，難度較大．