Question

【題目】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數；
（2）如果點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數量關系？并說明理由．
（3）如果點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數量關系是否會發生變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B）
證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE==90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC為△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）．
如圖，

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=．
∵∠DEF為△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
【解析】（1）由三角形內角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質易得∠EAC的度數，可得∠EFD；
（2）由角平分線的性質和三角形的內角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的性質得出∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形內角和定理可得∠EFD；
（3）與（2）的方法相同．