Question

24、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、DB相交于點O，現給出如下三個條件：①AB=DC；②AC=DB；③∠OBC=∠OCB．
（1）請你再增加一個條件：

AB∥CD

，使得四邊形ABCD為矩形（不添加其他字母和輔助線，只填一個即可，不必證明）；
（2）請你從①②③中選擇兩個條件

②③

（用序號表示，只填一種情況），使得△AOB≌△DOC，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據題目所給出的條件知：四邊形ABCD的對角線相等；若使四邊形ABCD為矩形，則四邊形ABCD必須是平行四邊形，已知了AB=DC，可根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來添加條件；
（2）△AOB和△DOC中，已知的條件是∠AOB=∠DOC，若判定兩個三角形全等，可有兩種方法：
一、添加一組相等的對應角和一組相等的對應邊，根據AAS或ASA判定三角形全等；
二、添加夾這組對應角的兩組對應邊相等，即OA=OD，OB=OC，根據SAS來判斷兩個三角形全等；
由已知條件可知：選用第二種方法更合適，那么應該選用的條件為②③；由③證得OB=OC，由②證得OA=OD，由此即可得證．

解答：解：（1）添加的條件為：AB∥CD；
證明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
又∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．

（2）選�、冖�；
證明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；
又∵AC=BD，
∴OA=OD；
△AOB和△DOC中，OB=OC，OA=OD，∠AOB=∠DOC；
∴△AOB≌△DOC．（SAS）

點評：此題主要考查的是矩形及全等三角形的判定的方法；需注意的是：AAA和AAS不能作為判定三角形全等的依據．