Question

已知菱形ABCD，現(xiàn)將三角形紙片的一個(gè)角的頂點(diǎn)與A重合，適當(dāng)?shù)乩@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)該三角形紙片，使∠EAF=∠ABC．連接AC．
（1）如圖1，若∠ABC=90°，求證：CE+CF=

2

AC；
（2）如圖2，若∠ABC=60°，線段CE、CF、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系是否改變？若改變直接寫出結(jié)論；若不改變請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若菱形ABCD的周長(zhǎng)是12，CF=1，求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題干條件首先證明∠BAE=∠DAF，然后證明△ABE≌△ADF，得BE=DF，再利用正方形的性質(zhì)即可得到CE+CF=

2

AC；
（2）根據(jù)題干條件首先證明∠BAE=∠CAF，然后證明△ABE≌△CAF，得BE=CF，再利用菱形的性質(zhì)即可證明出線段CE、CF、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系．
（3）首先根據(jù)菱形的周長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)，然后在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，利用余弦定理求出AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠B=∠D，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE+CF=2BC，
∵BC=

2

2

AC，
∴CE+CF=

2

AC；

（2）解：線段CE、CF、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系改變．
∵∠ABC=60°，∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABE≌△CAF，
∴BE=CF，
∴CE+CF=BC=AC．
故線段CE、CF、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系改變；

（3）解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是12，
∴AB=BC=AC=3，
在△ACF中，AC=3，CF=1，∠ACF=60°，
根據(jù)余弦定理，cos60°=

AC2+ CF2-AF2

2AC•CF

，
即

1

2

=

9+1-AF2

6

，
解得AF=

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，此題難度一般．