Question

如圖，△ABC內有一點K，過K引三邊的平行線與三邊交成的線段，有同一長度x，如果BC、AC、AB長度分別為a、b、c，試求x．

Answer 1

分析：在△ABC中有三個平行四邊形，把它們的邊分別表示出來，同時還有三個三角形與△ABC相似，根據(jù)對應線段的比相等進行計算可以求出x的值．

解答：解：如圖：
在△ABC內有三個平行四邊形，分別把它們的邊用d，e，f，g，m，n表示．
同時在△ABC中有三個三角形與△ABC相似，則有：

x

a

=

g

b

=

n

c

，

x

b

=

m

c

=

f

a

，

x

c

=

e

a

=

d

b

．
∴

x

a

+

x

b

+

x

c

=

g

b

+

m

c

+

e

a

=

n

c

+

f

a

+

d

b

．
∴

x

a

+

x

b

+

x

c

=

1

2

（

e+f

a

+

d+g

b

+

m+n

c

），
=

1

2

（1-

x

a

+1-

x

b

+1-

x

c

），
整理得：

x

a

+

x

b

+

x

c

=1，

1

x

=

1

a

+

1

b

+

1

c

=

bc+ac+ab

abc

，
∴x=

abc

ab+bc+ac

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據(jù)平行線可以判定圖中有三個三角形與原來的三角形相似，另外還有三個是平行四邊形，根據(jù)相似三角形和平行四邊形的性質進行計算求出X的值．