Question

（1998•寧波）矩形ABCD的周長為16，點P是矩形邊上任一點，則點P到對角線AC，BD的距離之和的最大值是（ ）
A．8
B．4
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據不等式a²+b²≥確定取得最大值時矩形的長與寬相等，此時求出矩形的對角線的長和面積，再根據點P與對角線的交點的連線把三角形分成兩個小三角形的面積的和等于矩形面積的，即可求出點P到兩對角線點的距離的最大值．
解答：解：如圖，設矩形的長為a，寬為b，
根據題意a+b=16÷2=8，
∵a²+b²≥=32，
當且僅當a=b=4時，等號成立，
此時，對角線AC=BD===4，
因為矩形的四個三角形面積相等，均為×（4×4）=4，
設對角線交點為O，連接PO，
S_△AOD=S_△APO+S_△DPO=AO•PE+OD•PF=AO（PE+PF）=4，
∵AO=AC=×4=2，
∴PE+PF==2．
即點P到對角線AC，BD的距離之和的最大值是2．
故選D．
點評：本題利用不等式得到當矩形的長與寬相等時，點P到對角線AC、BD的距離之和最大是解本題的關鍵，利用面積求解三角形的問題是常用的方法之一．