Question

如圖，直線AC∥BD，連結AB，直線AB、BD、AC把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分.當動點P落在某個部分時，連結PA、PB構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角。（提示：有公共端點的兩條重合的射線組成的角是0度角.）
（1）當動點P落在第①部分時，試說明∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
（2）當動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）當動點P落在第③、④部分時，全面探究∠APB、∠PAC、∠PBD之間的數量關系，并畫出相應的圖形、寫出相應的結論.請選擇一種結論加以說明.

Answer 1

（1） 作PQ∥AC，則 PQ∥AC∥BD. ∴∠APQ﹦∠CAP，∠BPQ﹦∠DPB

∴∠APB﹦∠APQ+∠BPQ﹦∠PAC+∠PBD. …4分
（也可延長AP或BP求證）
（2）不成立. …6分 
（3）點P落在第③部分時，
∠APB﹦∠PBD－∠PAC. …9分
點P落在第④部分時，
∠APB﹦∠PAC－ ∠PBD. …10分
選其中一個證明（正確給2分）…10分

（1）過點P作AC的平行線，根據平行線的性質將∠PAC，∠PBD等量轉化，證出結論．
（2）過點P作AC的平行線PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC與∠APQ是一對同旁內角，∠QPB與∠PBD也是一對同旁內角，根據兩直線平行，同旁內角互補，發現三個角的和是360度．
（3）分點P在直線AB的左側與右側兩種情況，分別過點P向右作PQ∥AC，根據平行公理可得PQ∥BD，然后根據兩直線平行，同旁內角互補用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后結合圖形整理即可得解．點P落在第④部分時，證法同上