Question

（1）已知關(guān)于x的方程ax²+4x-1=0．當(dāng)a取什么值時，方程有實數(shù)根？
（2）已知x₁，x₂是方程x²+mx+m-1=0的兩個根，且x₁²+x₂²=17；求m的值．

Answer 1

分析：（1）分類討論：當(dāng)a=0，方程變形為4x-1=0，一元一次方程有解；當(dāng)a≠0，根據(jù)△的意義得到△=4²-4m×（-1）≥0，則m≥-4且m≠0，方程有兩個實數(shù)根，然后綜合兩種情況得到a的范圍為a≥-4；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m-1，變形x₁²+x₂²得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，則（-m）²-2（m-1）=17，解方程得到m₁=5，m₂=-3，然后把m的值代入方程后分別計算△，再確定m的值．

解答：解：（1）當(dāng)a=0，方程變形為4x-1=0，解得x=

1

4

；
當(dāng)a≠0，方程有實數(shù)根，則△=4²-4m×（-1）≥0，解得m≥-4，即m≥-4且m≠0，方程有兩個實數(shù)根，
所以a≥-4時，方程有實數(shù)根；

（2）∵根據(jù)題意得x₁+x₂=-m，x₁•x₂=m-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，
∴（-m）²-2（m-1）=17，
整理得m²-2m-15=0，即（m-5）（m+3）=0，
∴m₁=5，m₂=-3，
當(dāng)m=5時，方程變?yōu)閤²+5x+4=0，△=25-4×4＞0，
當(dāng)m=-3時，方程變?yōu)閤²-3x-4=0，△=9+4×4＞0，
∴m的值為5或-3．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．