Question

如圖在⊙O中，AB為直徑，BP為⊙O的弦，AC與BP的延長線交于點C，且BP=PC，PE⊥AC于E． 求證：PE是⊙O的切線．

Answer 1

證明：連接OP，AP，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BP，
∵BP=CP，
∴AP垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OP，
∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C，
∴OP∥AC，
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP，
∴PE是圓O的切線．
分析：連接OP，AP，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AP垂直于BC，再由BP=CP，得到AP垂直平分BC，得到AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OP，利用等邊對等角再得到一對角相等，可得出一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OP與AC平行，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直即可得到PE與OP垂直，即PE為圓O的切線，得證．
點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．