Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．

1.求拋物線的解析式及頂點D的坐標

2.判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

3.點M(m，0)是x軸上的一個動點， 當CM+DM的值最小時，求m的值．

 

Answer 1

 

1.∵點A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，

∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =………………………………….（1分）

∴拋物線的解析式為y=x²-x-2.y=x²-x-2= (x² -3x- 4 ) =(x-)²-,

∴頂點D的坐標為 (,-).………………………………….（4分）

2.當x = 0時y = -2,       ∴C（0，-2），OC = 2。

當y = 0時，  x²-x-2= 0，      ∴x₁ = -1, x₂= 4,     ∴B (4,0)

∴OA =1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² =5,    BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².               

∴△ABC是直角三角形. ………………………………….（8分）

3.作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

 

 

設直線C′D的解析式為y = kx + n ,

則，解得n = 2,  .

∴ .

∴當y = 0時，，

 .     ∴.………………………………….（11分）

 解析:略