Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B 兩點．
（1）求該拋物線的頂點坐標及A、B兩點的坐標；
（2）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足
S_△PAB﹦8，并求出此時P點的坐標；
（3）設（1）中拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線解析式可求出頂點坐標及A、B兩點的坐標；
（2）設點P的坐標為（x，y），根據S_△PAB﹦8，求得y值，分別代入從而求得點P的坐標；
（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線，從而求得點Q的坐標．
解答：解：（1）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，故頂點坐標為（1，-4），
令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
故點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）；

（2）設點P的坐標為（x，y），
由題意得，S_△ABC=×4×|y|=8，
解得：|y|=4，即y=±4，
當y=4時，x²-2x-3=4，
解得：x₁=1+2，x₂=1-2，
當y=-4時，x²-2x-3=-4，
解得：x=1，
故當P點的坐標分別為（1+2，4）、（1-2，4）、（1，-4）時，S_△PAB=8；

（3）存在點Q的坐標．
在拋物線y=x²-2x-3的對稱軸上存在點Q，使得△QAC的周長最小．
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B（3，0），
∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，
拋物線y=x²-2x-3與y軸交點C的坐標為（0，-3），設直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當x=1時，y=-2．
∴點Q的坐標為（1，-2）．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，涉及了頂點坐標的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題的關鍵是熟練各個知識點，注意培養自己解綜合題的能力．