Question

已知二次函數y=-x²+2mx-（m²+4m-8），m為正整數，它的圖象與x軸交于點A、B兩點（A點在B點左側）．
（1）求二次函數的解析式，并畫出草圖；
（2）求以A，B為圓心，分別以OA、OB為半徑的⊙A、⊙B異于y軸的一條外公切線的解析式；
（3）求（2）中⊙A、⊙B的外部與一條公切線圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數圖象與x軸有兩個交點，可得判別式△≥0，列式求出m的取值范圍，再根據m是正整數即可求出m的值，然后代入整理即可得到函數解析式，求出二次函數圖象與x軸、y軸的交點坐標，以及對稱軸，作出圖象即可；
（2）根據兩圓半徑的關系可以求出過公切線切點的半徑與x軸的夾角是60°，然后求出兩切點的坐標，再根據待定系數法即可求出公切線的解析式；
（3）如圖2，先求出公切線段的長度，然后求出直角梯形ABFE的面積，再根據所求面積等于梯形ABFE的面積減去兩個扇形的面積計算即可求解．

解答：解：（1）△=（2m）²-4×（-1）×[-（m²+4m-8）]，
=-16m+32，
∵圖象與x軸交于點A、B兩點（A點在B點左側），
∴△＞0，
即-16m+32＞0，
解得m＜2，
∵m為正整數，
∴m=1，
∴y=-x²+2mx-（m²+4m-8）=-x²+2×1-（1²+4×1-8）=-x²+2x+3，
即二次函數的解析式為：y=-x²+2x+3；圖象如圖1所示；

（2）如圖2所示，當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
點A、B的坐標是A（-1，0），B（3，0），
∴AB=1+3=4，BC=3-1=2，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵1×cos60°=

1

2

，1×sin60°=

3

2

，-1-

1

2

=-

3

2

，
3×cos60°=3×

1

2

=

3

2

，3×sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

，3-

3

2

=

3

2

，
∴點E、F的坐標分別是E（-

3

2

，

3

2

），F（

3

2

，

3 3

2

），
設公切線EF的解析式是：y=kx+b，
則

- 3 2 k+b= 3 2 3 2 k+b= 3 3 2

，
解得

k= 3 3 b= 3

，
∴公切線的解析式是y=

3

3

x+

3

，
同理在x軸下方的公切線的解析式是y=-

3

3

x-

3

；

（3）如圖2，EF=AC=

AB2-BC2

=

42-22

=2

3

，
∴梯形ABFE的面積=

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

，
∵∠BAC=30°，
∴∠EAO=30°+90°=120°，
∴S_扇形EAO=

120π×12

360

=

π

3

，S_扇形FBO=

60π×32

360

=

3π

2

，
圍成的圖形的面積=S_梯形ABFE-S_扇形EAO-S_扇形FBO=4

3

-

π

3

-

3π

2

=4

3

-

11

6

π．
故答案為：（1）y=-x²+2x+3，（2）y=-

3

3

x-

3

，（3）4

3

-

11

6

π．

點評：本題綜合考查了二次函數的問題，根的判別式，二次函數圖象與x軸的交點問題，兩圓相交的公切線解析式的求解，待定系數法求直線解析式，勾股定理，扇形的面積以及梯形的面積的求解，綜合性較強，難度較大，但只要仔細分析也不難解決．