Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+b與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y＝ax2﹣4ax+4經過點A和點B，并與x軸相交于另一點C，對稱軸與x軸相交于點 D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求證：△BOD∽△AOB；

（3）如果點P在線段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4（2）證明見解析（3）（，）

【解析】

（1）利用直線表達式求出點A、B的坐標，把這兩個點的坐標代入二次函數表達式即可求解；

（2）利用兩個三角形夾角相等、夾邊成比例，即可證明△BOD∽△AOB；

（3）證明△BCP∽△BAC，則，求出BP的長度，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+4經過點A和點B，點B在y軸上，

∴當x＝0時，y＝4，

∴點B的坐標為（0，4），

∵直線y＝﹣x+b與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，

∴b＝4，

∴直線y＝﹣x+4，

當y＝0時，x＝8，

∴點A的坐標為（8，0），

∵拋物線y＝ax2﹣4ax+4經過點A和點B，

∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝，

∴拋物線y＝x2+x+4；

（2）證明：∵y＝x2+x+4＝+，該拋物線的對稱軸與x軸相交于點D，

令y＝0，解得：x＝﹣4和8，則點C的坐標為（﹣4，0），即：OC＝4，

∴點D的坐標為（2，0），∴OD＝2，

∵點B（0，4），

∴OB＝4，

∵點A（8，0），

∴OA＝8，

∴, ，

∴，

∵∠BOD＝∠AOB＝90°，

∴△BOD∽△AOB；

（3）連接CP，∵△BOD∽△AOB，

∴∠OBD＝∠BAO＝α，∠BCP＝∠DBO＝α，

∴∠BCP＝∠BAO＝α，而∠CPB＝∠CBP，

∴△BCP∽△BAC，則，

其中，BC＝4 ，AB＝4，代入上式并解得：BP＝，

過點P作x軸的平行線交y軸于點H，

∵PH∥x軸，

∴，

即：，解得：PH＝，

即：點P的橫坐標為：，

同理可得其縱坐標為，

即點P的坐標為（，）．