Question

已知圓的半徑為13，兩條弦長分別為10和24，且弦AB∥CD，則AB、CD相距    ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況考慮：（1）當兩條弦在圓心O同側時，如圖1所示，過O作OE⊥CD，與AB交于F點，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，連接OA，OC，利用垂徑定理得到E、F分別為CD、AB的中點，由CD與AB的長求出CE與AF的長，再由半徑OA與OC的長，利用勾股定理分別求出OE與OF，由OE-OF即可求出兩弦間的距離EF的長；
（2）當兩條弦在圓心O異側時，如圖1所示，過O作OE⊥CD，與AB交于F點，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，連接OA，OC，利用垂徑定理得到E、F分別為CD、AB的中點，由CD與AB的長求出CE與AF的長，再由半徑OA與OC的長，利用勾股定理分別求出OE與OF，由OE+OF即可求出兩弦間的距離EF的長，綜上，得到AB與CD的距離．
解答：解：分兩種情況考慮：
（1）當弦AB與弦CD在圓心O同側時，如圖1所示，
過O作OE⊥CD，與AB交于F點，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
連接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又∵半徑OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根據勾股定理得：OF==5，
在Rt△COE中，根據勾股定理得：OE==12，
則兩弦間的距離EF=OE-OF=12-5=7；

（2）當弦AB與弦CD在圓心O異側時，如圖2所示，
過O作OE⊥CD，與AB交于F點，由AB∥CD，可得出OF⊥AB，
連接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴E、F分別為CD、AB的中點，
∵AB=24，CD=10，
∴CE=DE=5，AF=BF=12，
又半徑OA=OC=13，
∴在Rt△AOF中，根據勾股定理得：OF==5，
在Rt△COE中，根據勾股定理得：OE==12，
則兩弦間的距離EF=OE+OF=12+5=17，
綜上，兩條弦間的距離為7或17．
故答案為：7或17．
點評：此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，分類討論時要做到不重不漏．