Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，P是三角形內角任意一點，過點P作三邊的垂線PD、PE、PF，垂足分別為D、E、F．則PD+PE+PF=

2

3

．

Answer 1

分析：過A作AM垂直于BC，由三角形ABC為等邊三角形，根據三線合一得到M為BC中點，在直角三角形ABM中，由AB及BM的長，利用勾股定理求出AM的長，利用底BC與高AM乘積的一半求出等邊三角形的面積，又三角形ABC的面積=三角形ABP的面積+三角形CBP的面積+三角形ACP的面積，利用三角形的面積公式分別表示出三個三角形的面積，相加等于求出的三角形ABC的面積，根據等邊三角形的三邊長相等，等量代換后提取AB，可得出PD+PE+PF的值．

解答：解：過A作AM⊥BC，連接PA，PB，PC，如圖所示：

∵△ABC為等邊三角形的邊長為4，AM⊥BC，
∴M為BC的中點，即BM=CM=

1

2

BC=2，
在直角三角形ABM中，AB=4，BM=2，
根據勾股定理得：AM=

AB2-BM2

=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AM=4

3

，
又∵S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
=

1

2

PE•AB+

1

2

PF•AC+

1

2

PD•BC
=

1

2

AB（PE+PF+PD），
∴

1

2

×4（PE+PF+PD）=4

3

，
則PE+PD+PF=2

3

．
故答案為：2

3

點評：此題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，以及三角形的面積公式，其中連接P與三角形ABC的三個頂點，得出S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP是解本題的關鍵．