Question

【題目】已知：如圖，直線與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，線段OA的長是方程的一個根，請解答下列問題：

求點B坐標；

雙曲線與直線AB交于點C，且，求k的值；

在的條件下，點E在線段AB上，，直線軸，垂足為點，點M在直線l上，坐標平面內是否存在點N，使以C、E、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點N的坐標為或或或．

【解析】

解方程得：，或，得出，，代入求出，即可得出；

在中，由勾股定理求出，過點C作軸于H，則，由平行線得出∽，得出，求出，，得出，，代入雙曲線切線即可；

分兩種情況：當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，由矩形的性質和相似三角形的判定與性質得出點N的坐標為或；

當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，由矩形的性質和相似三角形的判定與性質得出點N的坐標為或．

解：解方程得：，或，

線段OA的長是方程的一個根，

，，

代入得：，

，

；

在中，，，

，

過點C作軸于H，如圖1所示：

則，

∽，

，

即，

解得：，，

，

，

雙曲線經過點C，

；

存在，理由如下：

分兩種情況：

當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，過E作軸于G，作交直線l于M，如圖2所示：

則，

∽，

，

，，

，

，

，

設直線EM的解析式為，

把點代入得：，

解得：，

直線EM的解析式為，

當時，，

，

，

，

點N的坐標為；

當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的一邊時，同理得出滿足條件的另一點N的坐標為；

當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，作于G，于H，如圖3所示：

則，，，

四邊形EMCN是矩形，

，

由角的互余關系得：，

∽，

，

，

又，

，，

的坐標為，

，，

；

當CE為以C、E、M、N為頂點的矩形的對角線時，同理得出滿足條件的另一點N的坐標為；

綜上所述：存在以C、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，點N的坐標為或或或．