Question

在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點O在線段AD上．

（1）如圖1，連接OB、OC，求證：△BDO≌△CDO；
（2）已知⊙O與直線AB、AC都相切，切點分別為E、F，當AD=12，CD=5，OD=時，求證：⊙O與直線BC相切．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的高，
∴BD=CD，∠ODB=∠ODC=90°，
在△OBD和△OCD
，
∴△BDO≌△CDO（SAS）；
（2）如圖，
∵AD=12，CD=5，OD=，
∴AC===13，OA=AD-OD=12-=，
∵⊙O與直線AC相切于F，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO=90°，
而∠OAF=∠CAD，
∴△OAF∽△CAD，
∴OF：CD=OA：AC，即OF：5=：13，
∴OF=，
∴OD=OF，
而OD⊥BC，
∴⊙O與直線BC相切．
分析：（1）根據等腰三角形的性質由AB=AC，AD是BC邊上的高得到BD=CD，然后根據“SAS”可判斷△BDO≌△CDO；
（2）先利用勾股定理計算出AC=13，再計算出OA=，然后根據切線的性質得OF⊥AC，易證△OAF∽△CAD，則OF：CD=OA：AC，即OF：5=：13，可計算出OF=，
于是有OD=OF，而OD⊥BC，根據切線的判定方法即可得到⊙O與直線BC相切．
點評：本題考查了圓的切線的判定與性質：經過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角形相似的判定與性質．