Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線

（1）當時，求拋物線的頂點坐標；

（2）已知點，拋物線與軸交于點（不與重合），將點繞點逆時針旋轉90°至點，

①直接寫出點的坐標（用含的代數式表示）；

②若拋物線與線段有且僅有一個公共點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(3，2)；（2）①(5－2a，2)；②－1＜a＜或a=－2或a=－10

【解析】

（1）將a代入拋物線，用配方法求頂點；

（2）①存在3種情況，具體情況見分析.逆時針旋轉后，AC之間的距離即為點B橫坐標的絕對值，縱坐標為2；

（2）②依舊按照2種情況分析，當2a－3＞2時，畫圖發現，一定無交點；當2a－3＜2時，首先可以確定拋物線過定點(1，－2)和(2，1)，且點C在點A的下方，然后在用數形結合的方法，再細分為拋物線開口向上和開口向下的情況求解

（1）將a=－2代入拋物線得：

配方得：

∴頂點坐標為(3，2)

（2）①∵點C是拋物線與y軸的交點

∴當x=0時，y=2a－3

∴點C(0，2a－3)

分為2種情況進行討論：

情況一：2a－3＞2；

情況二：0＜2a－3＜2；

情況三：2a－3＜0；

分析情況一，逆時針旋轉90°圖形如下：

AC=2a－3－2=2a－5，∴AB=AC=2a－5

∴點B的橫坐標為：－(2a－5)=5－2a，縱坐標為：2

∴B(5－2a，2)

情況二、三同理，也得到B(5－2a，2)

∴B(5－2a，2)

②拋物線的對稱軸為：

情況一：當2a－3＞2，即a＞時

點C在點A的上方，拋物線的開口向上，對稱軸在y軸右側，草圖如下：

則拋物線與線段AB一定無交點

情況二：當2a－3＜2，即a＜時

∵拋物線

化簡得：

故拋物線過定點：(1，－2)，(2，1)

在求解過程中，還需要討論拋物線的開口，需要繼續細分：

第一種情況：當拋物線開口向下，a+1＜0，即a＜－1時，圖形如下

拋物線過定點(1，－2)，(2，1)，且開口向下，與線段AB僅有一個交點，則拋物線一定如上圖所示，即定點在AB線段上，即定點的縱坐標為2

根據拋物線解析式，定點縱坐標為：

化簡得：(a+2)(a+10)=0，解得：a=－2或a=－10

第二種情況，拋物線開口向上，a+1＞0，即a＞－1，且a＜，即：－1＜a＜時，圖形如下：

拋物線過定點(1，－2)，(2，1)，且開口向上，與線段AB僅有一個交點，則拋物線一定如上圖所示(臨界點)，即當拋物線的右側剛好經過點B時為臨界點

∵B(5－2a，2)

∴只需當x=5－2a時，y＞2即可

即：

化簡得：

解得：－1＜a＜或a＞(舍)

綜合得：1＜a＜或a=－2或a=－10