Question

如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點．
（1）求證：①∠1=∠2；②EC⊥MC．
（2）試問當∠1等于多少度時，△ECG為等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADE=∠CDE，然后利用邊角邊定理證明△ADE與△CDE全等，再根據全等三角形對應角相等即可證明；
②根據兩直線平行，內錯角相等可得∠1=∠G，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=MG，然后據等邊對等角的性質得到∠G=∠MCG，所以∠2=∠MCG，然后根據∠FCG=90°即可證明∠MCE=90°，從而得證；
（2）根據（1）的結論，結合等腰三角形兩底角相等∠G=∠GEC，然后利用三角形的內角和定理列式進行計算即可求解．

解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE與△CDE，

AD=CD ∠ADE=∠CDE DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2，
②∵AD∥BG（正方形的對邊平行），
∴∠1=∠G，
∵M是FG的中點，
∴MC=MG=MF，
∴∠G=∠MCG，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠MCG，
∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，
∴∠ECM=∠2+∠FCM=90°，
∴EC⊥MC；

（2）解：∠1=30°時，△ECG為等腰三角形．
理由如下：∵△ECG為等腰三角形，
∴∠G=∠CEG，
又∵∠1=∠2=∠G，
∴在△ECG中，∠G+∠CEG+∠2+∠FCG=180°，
即3∠1+90°=180°，
解得∠1=30°．
故答案為：∠1=30°時，△ECG為等腰三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，是綜合題，但難度不大，細心分析即可找出解題思路．