Question

如圖，已知BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F為垂足，EF分別交AB、AC于M、N兩點．
求證：（1）四邊形AEBF是矩形；（2）MN=BC．

Answer 1

證明：（1）∵BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F為垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四邊形AEBF為矩形；

（2）∵四邊形AEBF為矩形，
∴BM=MA=MF，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴MF∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中點，
∴（或MN為△ABC的中位線）
∴MN=BC．
分析：（1）由BF、BE是角平分線可得∠EBF是90°，進而由條件中的兩個垂直可得兩個直角，可得四邊形AEBF是矩形；
（2）由矩形的性質可得∠2=∠5進而利用角平分線的性質可得∠1=∠5，可得MF∥BC，進而可得△AMN∽△ABC，那么MN=BC．
點評：綜合考查了矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質；用到的知識點為：有3個角是直角的四邊形是矩形；矩形的對角線平分且相等；相似三角形的對應邊成比例．