Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD內找一點O，使它到四邊形四個頂點的距離之和OA+OB+OC+OD最小，并說明你作圖的理論依據．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

連接AC、BD相交于點O，則點O就是所要找的點；
取不同于點O的任意一點P，連接PA、PB、PC、PD，根據三角形任意兩邊之和大于第三邊可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后結合圖形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，從而可得點O就是所要找的四邊形ABCD內符合要求的點．

解：要使OA+OB+OC+OD最小，則點O是線段AC、BD的交點．

理由如下：如果存在不同于點O的交點P，連接PA、PB、PC、PD，

那么PA+PC＞AC，

即PA+PC＞OA+OC，

同理，PB+PD＞OB+OD，

∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，

即點O是線段AC、BD的交點時，OA+OB+OC+OD之和最小．