Question

（2002•蘭州）四邊形ABCD內接于圓，且CD=1，AB=，BC=2，∠ABC=45°，則四邊形ABCD的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據AB=，BC=2，∠ABC=45°可以推出BC是圓的直徑．
過A作AF⊥BC于F，可以得到AF=BF=1，∠BAF=∠CAF=45°．
在直角三角形BCD中，由CD=1，BC=2可以得到∠DBC=30°，∠BCD=60°．
過D作DE⊥BC于E，可以求出DE=；過D作DH⊥AF于H，接著求出AH，DH，然后就可以求出三角形AHD的面積，三角形ABF的面積，矩形DHFE的面積，三角形EDC的面積，最后即可求出四邊形ABCD的面積．
解答：解：如圖，過A作AF⊥BC于F．
∵AB=，∠ABC=45°，
∴BF=AF=1，
而BC=2，
∴F為CB中點，
∴AC=，∠BAC=90°，
∴BC應該是圓的直徑，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
∴∠BDC=90°．
∴直角三角形BCD中，CD=1，BC=2，
∴∠DBC=30°，∠BCD=60°．
過D作DE⊥BC于E．
∴DE=，
過D作DH⊥AF于H，
∴AH=．
DH=CF-CE=1-1.5=0.5，
∴S_△AHD=．
而S_△ABF=，S_矩形DHFE=，S_△EDC=，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABF+S_△AHD+S_△DEC+S_矩形DHFE=．
故選D．
點評：此題首先通過作輔助線把一般四邊形的面積問題轉換為幾個規則圖形的面積的和差，此題關鍵是根據邊的長和角的度數來得出特殊三角形從而求出四邊形的面積．