Question

（2010•邢臺一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²-6x+c經過點（0，10）和點（3，1）．
（1）求這條拋物線的函數表達式，并求出它的對稱軸；
（2）如圖，△ABC的頂點B在拋物線y=ax²-6x+c上，頂點C在y軸上，頂點A在x軸上，且BC=1，∠ABC=90°，求AC的長；
（3）△ABC的頂點B沿拋物線y=ax²-6x+c移動，移動過程中，邊BC與x軸保持平行，當△ABC被x軸分成上下兩部分的面積比為3：1時，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）將點（0，10）和點（3，1）代入解析式就可以求出拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點式就可以求出對稱軸．
（2）由BC=1，∠ABC=90°，就可以求得B點的橫坐標，將點B的橫坐標代入解析式就可以求出B點的縱坐標從而求出AB的值，再由勾股定理就可以求出AC的值．
（3）如圖，當△ABC移到△A′B′C′的位置時，S_{四邊形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，有S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，由相似三角形的性質可以求出B′F，求得B′的縱坐標，代入拋物線的解析式就可以求出B′的橫坐標，從而求得C′的坐標．

解答：解：（1）由題意，得

10=c 1=9a-18+c

，
解得：

a=1 c=10

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-6x+10
∴y=（x-3）²+1
∴拋物線的對稱軸是：x=3．

（2）∵BC=1，∠ABC=90°，
∴B點的橫坐標為1，
∴y=1-6+10=5，
∴AB=5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=

26

；

（3）∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
∴△A′B′C′≌△ABC，
∴A′B′=AB=5．
∵S_{四邊形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，
∴S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，
∵BC與x軸保持平行，
∴△A′B′C∽△EFA
∴

A′B′

A′F

=2，
∴A′F=

5

2

，
∴B′F=

5

2

，
∴

5

2

=x²-6x+10，
∴x₁=

6+ 6

2

，x₂=

6- 6

2

，
故C（

4+ 6

2

，

5

2

）或（

4- 6

2

，

5

2

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式，勾股定理的運用，二次函數圖象與幾何變換，平移的性質及運用，相似三角形的性質．