Question

如圖，直線l₁與坐標軸分別交于點A、B，經過原點的直線l₂與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D，已知點C（3，

15

4

），且OA=8．在直線AB上取點P，過點P作y軸的平行線，與CD交于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQEF．設點P的橫坐標為t．
（1）點求直線l₁的解析式；
（2）當點P在線段AC上時，試求正方形PQEF與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積的最大值；
（3）設點M坐標為(4，

9

2

)，在點P的運動過程中，點M能否在正方形PQEF內部？若能，求出t的取值范圍；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據已知條件，設出直線l₁的解析式再根據C點的坐標和OA的長，求出k與b的值來，即可求出結果．
（2）先根據題意得出P、Q點的坐標，從而解出t的值，然后再分兩種情況進行討論，分別得出S的最大值，及可求出結果．
（3）本題分兩種情況進行討論，當t＜3時和t＞3時，分別求出t的取值范圍，即可求出結果．

解答：解：（1）設直線l₁的解析式為y=kx+b，
∵直線l₁與直線l₂交于點C，
又∵OA=8，
∴把C（3，

15

4

），A（8，0）代入上式得：

0=8k+b 15 4 =3k+b

，
解得：b=6，k=-

3

4

，
∴直線l₁的解析式為：y=-

3

4

x+6；

（2）點P在線段AC上時，根據題意有：P(t，-

3

4

t+6)，Q(t，

5

4

t)，
∴PQ=

5

4

t-(-

3

4

t+6)=2t-6，
當EF在AD上時，t+2t-6=8，有t=

14

3

，
當3＜t≤

14

3

時，S=（2t-6）²，
當t=

14

3

時，S_最大=

100

9

，
當

14

3

≤t≤8時，S=(2t-6)(8-t)=-2(t-

11

2

)2+

25

2

，
當t=

11

2

時，S最大=

25

2

；
所以，S的最大值為

25

2

；

（3）當t＜3時，有

t＜4＜6-t 5 4 t＜ 9 2 ＜- 3 4 t+6

，
解得：t＜2，
當t＞3時，有

t＜4＜3t-6 - 3 4 t+6＜ 9 2 ＜ 5 4 t

，
解得：3.6＜t＜4，
點M能在正方形PQEF內部，此時t的取值范圍是3.6＜t＜4或t＜2．

點評：本題主要考查了一次函數的綜合應用，解題時要注意知識的綜合運用，是一道很好的題．