Question

某企業決定慎重投資，經企業信息部進行市場調研，調研結果如下：
信息一、如果單獨投資A中產品，則所獲利潤y_A（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數關系：y_A=kx，并且當投資2.5萬元時，可獲利潤1萬元．
信息二：如果單獨投資B種產品，則所獲利潤y_B（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數關系：y_B=ax²+bx，并且當投資1萬元時，可獲利潤1.4萬元；當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元．
（1）請分別求出上述的正比例函數表達式和二次函數表達式；
（2）如果企業對A、B兩種產品投資金額相同，且獲得總利潤為5萬元，問：此時對兩種產品的投資金額各是多少萬元？
（3）如果企業同時對A、B兩種產品共投資10萬元，能否獲得6萬元的利潤？

Answer 1

分析：（1）根據當x=2.5時，y_A=1，求出正比例函數解析式，再利用當x=1時，y_B=1.4；當x=4時，y_B=3.2，求出二次函數的解析式即可；
（2）根據題意可得：y_A+y_B=5，求出x即可；
（3）利用配方法求出二次函數的最值，進而得出答案．

解答：解：（1）當x=2.5時，y_A=1，
∴1=2.5k，k=0.4，
∴y_A=0.4x．
當x=1時，y_B=1.4；當x=4時，y_B=3.2．
∴

1.4=a+b 3.2=16a+4b

，
解得：

a=-0.2 b=1.6

．
∴y_B=-0.2x²+1.6x．   

（2）根據題意可得：y_A+y_B=5，
0.4x+（-0.2x²+1.6x）=5，整理，
得x²-10x+25=0．
解得 x=5．
此時對兩種產品的投資金額都是5萬元．

（3）設投資B種商品x萬元，則投資A種商品（10-x）萬元，獲得利潤為W萬元，根據題意得
W=-0.2x²+1.6x+0.4（10-x）=-0.2x²+1.2x+4．   
∴W=-0.2（x-3）²+5.8．
當投資B種商品3萬元時，可以獲得最大利潤5.8萬元．
∵5.8＜6，
∴不能獲得6萬元的利潤．

點評：此題主要考查了二次函數的應用，根據已知得出W與x的關系式，進而求出最值注意按題意分析得出正確關系式是解題關鍵．