Question

（2007•甘井子區模擬）如圖，正方形ABCD中，若E、F分別是AD、AB上的點，且AE=AF．過點A作AM⊥BE，交對角線BD于M，過點M作MG⊥DF，交AD于N，交BE的延長線于G．探究BG、AM、MG之間的數量關系并證明．

Answer 1

分析：連接MC，首先根據題干條件結合正方形的性質證明△ABM≌△CBM，得出AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，再證明△ABE≌△ADF，得到∠ABE=∠ADF，結合AM⊥BE，MG⊥DF，得到∠DMG=∠AMB=∠CMB，于是可以證明C，M，G三點在同一直線上，綜合以上條件可以證明結論．

解答：答：BG，AM，MG之間的數量關系是：BG=AM+MG．
證明：連結MC．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°，
∵在△ABM與△CBM中，

AB=BC ∠ABD=∠CBD BM=BM

，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，
∵在△ABE與△ADF中，

AE=AF AB=AD ∠BAE=∠DAF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠ADF，
又∵∠ABD=∠ADB=45度，
∴∠EBD=∠FDB，
∵AM⊥BE，MG⊥DF，
∴∠EBD+∠AMB=∠FDB+∠DMG=90°，
∴∠DMG=∠AMB=∠CMB，
∴C，M，G三點在同一直線上，
∴CG=CM+MG，
∵∠MAB+∠ABE=∠GBC+∠ABE=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∵∠MAB=∠MCB
∴∠GBC=∠MCB，
∴BG=CG=CM+MG．

點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握正方形的性質以及全等三角形的判定定理，此題涉及角之間的等量關系較多，希望引起同學的注意．