Question

如圖，△ABC是一個邊長為2的等邊三角形，D、E都在直線BC上，并且∠DAE=120°
（1）設BD=x，CE=y，求y與x直間的函數關系式；
（2）在上題中一共有幾對相似三角形，分別指出來（不必證明）
（3）改變原題的條件為AB=AC=2，∠BAC=β，∠DAE=α，α、β之間要滿足什么樣的關系，能使（1）中y與x的關系式仍然成立？說明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABD=∠ACE=120°，
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
又∵∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∠CAE=∠D，
∴△ABD∽△ECA，
∴=，
∴xy=4，
∴y=；

（2）3對；
△DAE∽△ACE，△DAE∽△DBA，△DAB∽△AEC；

（3）當2α-β=180°時，y與x的關系式仍然成立．
∵AB=AC，∠BAC=β，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-β，
∴∠ABD=180°-（90°-β）=90°+β，
∵2α-β=180°，
∴α=90°+β，
∴∠DAE=∠ABD，
∵∠D=∠D，
∴△ADB∽△EDA，
同理：△EDA∽△EAC，
∴△ADB∽△EAC，
∴=，
∴xy=4，
∴y=．
分析：（1）可以證明△ABD∽△ECA，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（2）當2α-β=180°時，y與x的關系式仍然成立，可以首先證明△ADB∽△EDA且△EDA∽△EAC，即可證明△ADB∽△EAC，根據相似三角形對應邊的比相等即可證明．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性質，正確判定三角形相似是解題的關鍵．