Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與拋物線y=ax2+x+c相交于A，B兩點，其中點A在x軸上，點B在y軸上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上存在一點M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點M的坐標；
（3）如圖2，點E為線段AB上一點，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB在直線AB的同側，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個單位的速度運動，當點B與A重合時停止運動，設運動時間為t秒，△BDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于直線y=﹣x+3，

當y=0時，0=﹣x+3，即x=4，

∴A（4，0），

當x=0時，y=3，即B（0，3），

把A與B坐標代入y=ax2+x+c中，得：，

解得：，

則拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；″

（2）

解：設M坐標為（x，﹣x2+x+3），

①當∠MBA=90°時，如圖1，作MN⊥y軸，則有∠MNO=90°，

∴∠NMB+∠MBN=90°，

∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°，

∴∠MBN+∠ABO=90°，

∴∠NMB=∠ABO，

∵∠MNO=∠BOA，

∴△MNB∽△BOA，

∴=，

即=，

解得：x=或x=0（舍去），

當x=時，y=，即M（，）；

②當∠BAM′=90°時，易知△AM′N′∽△BAO，∴=，

即=，解得x=﹣或4（舍去），當x=﹣時，y=﹣，

即M′（﹣，﹣），

則滿足條件M的坐標為（，）或（﹣，﹣）；

（3）

解：如圖2所示，

當D點運動到x軸上時，易知△AD′E′∽△ABO，

∴，∴AE′=，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣=，

∴當0≤t≤時，S=2；

當≤t≤3時，S=﹣t2+t+；

當3≤t≤5時，S=t2﹣t+．

【解析】（1）根據直線解析式，求出A與B的坐標，代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由M在拋物線圖象上，設出M坐標，分兩種情況考慮：①當∠MBA=90°時；②當∠BAM′=90°時，分別求出M坐標即可；
（3）根據t的范圍，分三種情況考慮：當0≤t≤時；當≤t≤3時；當3≤t≤5時，分別確定出S與t的函數解析式即可．