Question

（2004•貴陽）如圖，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁；再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，得到四邊形A₂B₂C₂D₂…如此進行下去得到四邊形A_nB_nC_nD_n．
（1）證明：四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）寫出四邊形A₁B₁C₁D₁和四邊形A₂B₂C₂D₂的面積；
（3）寫出四邊形A_nB_nC_nD_n的面積；
（4）求四邊形A₅B₅C₅D₅的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A₁D₁分別是△ABD的中位線，B₁C₁是△CBD的中位線知，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=BD，故四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形，由AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁知，四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）由三角形的中位線的性質知，B₁C₁=BD=4，B₁A₁=AC=3，故矩形A₁B₁C₁D₁的面積為12，可以得到故四邊形A₂B₂C₂D₂的面積是A₁B₁C₁D₁的面積的一半，為6；
（3）由三角形的中位線的性質可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，故四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為；
（4）由相似圖形的面積比等于相似比的平方可得到矩形A₅B₅C₅D₅的邊長，再求得它的周長．
解答：（1）證明：∵點A₁，D₁分別是AB、AD的中點，
∴A₁D₁是△ABD的中位線
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=BD
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）解：由三角形的中位線的性質知，B₁C₁=BD=4，B₁A₁=AC=3，
得：四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為12；四邊形A₂B₂C₂D₂的面積為6；

（3）解：由三角形的中位線的性質可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
故四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為；

（4）解：方法一：由（1）得矩形A₁B₁C₁D₁的長為4，寬為3．
∵矩形A₅B₅C₅D₅∽矩形A₁B₁C₁D₁
∴可設矩形A₅B₅C₅D₅的長為4x，寬為3x，則，
解得
∴
∴矩形A₅B₅C₅D₅的周長=
方法二：矩形A₅B₅C₅D₅的面積/矩形A₁B₁C₁D₁的面積
=（矩形A₅B₅C₅D₅的周長）²/（矩形A₁B₁C₁D₁的周長）²
即：12=（矩形A₅B₅C₅D₅的周長）²：14²
∴矩形A₅B₅C₅D₅的周長=．
點評：本題利用了三角形的中位線的性質，相似圖形的面積比等于相似比的平方求解．